Question

【题目】在矩形ABCD中，AC是对角线，点E,F,G分别为AB,AC,BC的中点：

（1）求证：四边形EFCG是平行四边形；

（2）若ACD2ACB,AB4，求BF的长；

（3）在（2）的条件下，求四边形EFCG的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BF=4；（3）四边形EFCG的面积=.

【解析】

（1）由条件点E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，用三角形中位线定理可证明EF∥BC，EG∥AC，结论即可得证；

（2）由条件易求得ACB=，再利用直角三角形的性质求出斜边AC的长，最后再用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求出BF；

（3）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC，进而求出CG，又易知BE=2，则平行四边形EFCG的面积即可求出.

解（1）证明：∵点E、F分别为AB、AC的中点，

∴EF∥BC，

∵点E、G分别为AB、BC的中点，

∴EG∥AC.

∴四边形EFCG是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°.

∵ACD2ACB，

∴ACB=.

∴AC=2AB=8.

∵F为AC中点，∴；

（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，

∵G为BC中点，∴CG=BC=.

∵E为AB中点，∴BE=AB=2.

∴平行四边形EFCG的面积==.