题目内容
如图,PA为⊙O的切线,A为切点,直线PO交⊙O于点E,F,过点A作PO的垂线BA,垂足为点O,交⊙O于点B,延长AO与⊙O交于点C,连接BC.
(1)求证:直线PB为⊙O的切线;
(2)若AB=FD,且BC=6,求出PE的长.
(1)求证:直线PB为⊙O的切线;
(2)若AB=FD,且BC=6,求出PE的长.
证明:(1)连接OB,
∵PA为⊙O的切线,A为切点,
∴∠PAO=90°,
∵OA=OB,PO⊥BA,
∴∠AOD=∠BOD,
在△PAO和△PBO中
,
∴△PAO≌△PBO,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∵点B在⊙O上
∴直线PB为⊙O的切线;
(2)∵PO⊥BA,OA=OB,
∴AD=BD,
∵OA=OC,
∴AD=
AB=
DF,
∴OD=
BC=3,
设AD=x,则DF=2x,AO=FO=2x-3,在△ADO中,x2+32=(2x-3)2,
∴x=4,
即AD=4,AO=5,ED=2,
∵∠PAO=∠ADP=∠ADO=90°,
∴∠APD+∠PAD=90°,∠PAD+∠OAD=90°,
∴∠APD=∠OAD,
∴△ADP∽△ADO,
=
,
=
,
∴PD=
,
∴PE=PD-ED=
.
∵PA为⊙O的切线,A为切点,
∴∠PAO=90°,
∵OA=OB,PO⊥BA,
∴∠AOD=∠BOD,
在△PAO和△PBO中
|
∴△PAO≌△PBO,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∵点B在⊙O上
∴直线PB为⊙O的切线;
(2)∵PO⊥BA,OA=OB,
∴AD=BD,
∵OA=OC,
∴AD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴OD=
1 |
2 |
设AD=x,则DF=2x,AO=FO=2x-3,在△ADO中,x2+32=(2x-3)2,
∴x=4,
即AD=4,AO=5,ED=2,
∵∠PAO=∠ADP=∠ADO=90°,
∴∠APD+∠PAD=90°,∠PAD+∠OAD=90°,
∴∠APD=∠OAD,
∴△ADP∽△ADO,
PD |
AD |
AD |
DO |
PD |
4 |
4 |
3 |
∴PD=
16 |
3 |
∴PE=PD-ED=
10 |
3 |
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