Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．

（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：直线l1：当y=0时，2x+3=0，x=﹣

则直线l1与x轴坐标为（﹣ ，0）

直线l2：当y=3时，2x﹣3=3，x=3

则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）

（2）

解：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，

如图1，

∠APB＞∠ACB＞45°，

∴△APM不可能是等腰直角三角形，

∴点M不存在；

②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，

过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，

则Rt△ABP≌Rt△PNM，

∴AB=PN=4，MN=BP，

设M（x，2x﹣3），则MN=x﹣4，

∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），

x= ，

∴M（ ， ）；

③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，

设M1（x，2x﹣3），

过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，

则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，

∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），

∴x+3﹣（2x﹣3）=4，

x=2

∴M1（2，1）；

设M2（x，2x﹣3），

同理可得x+2x﹣3﹣3=4，

∴x= ，

∴M2（ ， ）；

综上所述，点M的坐标为（ ， ），（2，1），（ ， ）

（3）

解：x的取值范围为﹣ ≤x＜0或0＜x≤ 或 ≤x≤ 或 ≤x≤2

【解析】考查了四边形综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围．