题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．
（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．
【答案】
（1）
解：直线l1：当y=0时，2x+3=0，x=﹣ 
则直线l1与x轴坐标为（﹣ ，0）
直线l2：当y=3时，2x﹣3=3，x=3
则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）
（2）
解：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，
如图1，
∠APB＞∠ACB＞45°，
∴△APM不可能是等腰直角三角形，
∴点M不存在；
②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，
过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，
则Rt△ABP≌Rt△PNM，
∴AB=PN=4，MN=BP，
设M（x，2x﹣3），则MN=x﹣4，
∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），
x= 
，
∴M（ ， 
）；
③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，
设M1（x，2x﹣3），
过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，
则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，
∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），
∴x+3﹣（2x﹣3）=4，
x=2
∴M1（2，1）；
设M2（x，2x﹣3），
同理可得x+2x﹣3﹣3=4，
∴x= 
，
∴M2（ ， 
）；
综上所述，点M的坐标为（ ， ），（2，1），（ ， ）
（3）
解：x的取值范围为﹣ 
≤x＜0或0＜x≤ 
或 
≤x≤ 
或 
≤x≤2
【解析】考查了四边形综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围．
