Question

如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠D=30°.

（1）求证：CA=CD;
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积S.   

Answer 1

（1）见解析（2）+

解：（1）证明：连结OC，∵过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∴OC⊥CD；
∵∠D=30°，∴∠DOC=60°；∵OA=OC，∴∠CAO=30°=∠D；∴CA=CD（4分）
（2）连结CB，AB为⊙O的直径，∠CAO=30°，⊙O的半径为2∴CB=2,AC=2
过点C作交于点M. ∴CM=,
∴=+=+（4分）
（1）连接OC，利用切线的性质和圆的半径相等即可证明CA=CD；
（2）过O作OE⊥AC于E，有图形可知，图中阴影部分的面积S=S_△AOC+S_扇形COB，分别求出三角形的面积和扇形的面积即可．