Question

【题目】如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，

∴CD= AB，

∴CD=BD，

∴∠BCE=∠ABC，

∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠ACB，

∴△BCE∽△ABC，

∴E是△ABC的自相似点

（2）解：①如图所示，

作法：①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，

②在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，

则P为△ABC的自相似点；

②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，

∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，

∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，

∴∠A+2∠A+4∠A=180°，

∴∠A= ，

∴该三角形三个内角度数为： ， ， ．

【解析】（1）根据已知条件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出结论；（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；②根据∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各内角的度数．
【考点精析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的内切圆与内心的相关知识点，需要掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心才能正确解答此题．