题目内容

如图,在平面直角坐标系中,以点M(0,
3
)为圆心,以2
3
长为半径作⊙M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,连接AM并延长交⊙M于P点,连接PC交x轴于E.
(1)求出CP所在直线的解析式;
(2)连接AC,请求△ACP的面积.
(1)连接PB,
∵PA是⊙M的直径,
∴∠PBA=90度,
∵DC是⊙M的直径,且垂直于弦AB,
∴DC平分弦AB,
在Rt△AMO中AM=2
3
,OM=
3

∴AO=OB=3,
又∵MO⊥AB,
∴PBMO,
∴PB=2OM=2
3

∴P点坐标为(3,2
3
),
∵CM=2
3
,OM=
3

∴OC=CM-OM=
3

∴C(0,-
3
),直线CP过C,P两点,
设直线CP的解析式为y=kx+b(k≠0),
得到
-
3
=b
2
3
=3k+b

解得:
k=
3
b=-
3

∴直线CP的解析式为y=
3
x-
3


(2)在Rt△AMO中,∠AMO=60度,
又∵AM=CM,
∴△AMC为等边三角形,
∴AC=AM=2
3
,∠MAC=60度.
又∵AP为⊙M的直径,
∴∠ACP=90°,∠APC=30度,
PC=
3
AC=
3
•2
3
=6,
∴△ACP的面积=
1
2
AC•PC=
1
2
×2
3
×6
=6
3

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