Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10分别交x轴、y轴于A、B两点，过点N（8，4）的直线分别交x轴、y轴于C、D，CD⊥AB．
（1）求直线CD解析式．
（2）把△AOB沿x轴正方向平移得到△EFG，当点E平移到点C处停止移动，设移动的路程为m，直线CD在EFG内所截得的线段长为L，求L与m的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若四边形DEFN为梯形，求梯形DEFN的面积．

Answer 1

（1）由题意可得A（-5，O），B（0，10）
∴tan∠ABO=

1

2

，
∵CD⊥AB，
∴∠ABO=∠DCO，
∴tan∠DCO=

1

2

，
作NH⊥OC．
∴tan∠DCO=

NH

HC

=

1

2

，
∵N（8，4），
∴NH=4，OH=8，HC=8，
∴OC=16，
∴C（16，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则

8k+b=4 16k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=8

．
∴直线CD的解析式为y=-

1

2

x+8；

（2）由题意可知AE=OF=m
CE=21-m，CF=16-m
∵tan∠DCO=

1

2

，
∴CP=

2 5

5

CE=

2 5

5

（21-m），
CQ=

5

2

CF=

5

2

（16-m）．
①当0＜m≤16（如图2）
L=PQ=CP-CQ=

2 5

5

（21-m）-

5

2

（16-m）=

5

10

m+

2 5

5

；
②当16＜m＜21（如图3）
L=CP=

42 5

5

-

2 5

5

m；

（3）∵直线DN、直线EF交于点C
当四边形DEFN为梯形时，则有NF∥DE
∴

CN

CD

=

CF

CE

，
∵CN=4

5

，CD=8

5

，
∴

4 5

8 5

=

16-m

21-m

，
解得m=11，
∵S_梯形DEFN=S_△DOC-S_△DOE-S_△NFC
∴S=64-24-10=30，
∴若四边形DEFN为梯形，则梯形DEFN的面积为30．