题目内容
如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,点P是直径AB上的一点,(不与A,B重合),过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.
(1)点D在线段PQ上,且DQ=DC.求证:CD是⊙O的切线;
(2)若sinQ=,BP=6,AP=,求QC的长.
(1)点D在线段PQ上,且DQ=DC.求证:CD是⊙O的切线;
(2)若sinQ=,BP=6,AP=,求QC的长.
(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)连结OC,由OC=OB得∠2=∠B,DQ=DC得∠1=∠Q,根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°,则∠1+∠2=90°,再利用平角的定义得到∠DCO=90°,然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线;
(2)连结AC,由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°,根据余弦的定义得cosB=,可计算出BC=,在Rt△BPQ中,利用余弦的定义得cosB=,可计算出BQ=10,然后利用QC=BQ-BC进行计算即可.
试题解析:证明:连接,
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴,
∴
∵是⊙的半径,
∴是⊙的切线.
(2)连接,
在中,,
∴,
∵是⊙的直径,
∴.
在中,
∴.
∴.
考点: 1.切线的判定;2.解直角三角形.
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