Question

【题目】抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，连接BC．

（1）如图1，求直线BC的表达式；

（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到轴上的某个点G处，再沿适当路径运动到轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止，求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB面积最大时，把抛物线向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线，在新抛物线上，是否存在点E，使△ECB的面积等于△PCB的面积．若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）点Q按照要求经过的最短路径长为（3）存在，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （，）

【解析】

（1）先求出点，，的坐标，利用待定系数法即可得出结论；

（2）先确定出，再利用三角形的面积公式得出，即可得出结论；

（3）先确定出平移后的抛物线解析式，进而求出，在判断出建立方程即可得出结论．

解：（1）令，得，∴，．

∴ A（，0），B（，0）．

令，得．

∴C(0,3)．

设直线BC的函数表达式为，把B（，0）代入，得．

解得，．

所以直线BC的函数表达式为．

（2）过P作PD⊥轴交直线BC于M．

∵ 直线BC表达式为 ，

设点M的坐标为 ，则点P 的坐标为．

则．

∴．

∴此时，点P坐标为（，）．

根据题意，要求的线段PG+GH+HF的最小值，只需要把这三条线段“搬”在一直线上．如图1，作点P关于轴的对称点，作点F关于轴的对称点，连接，交轴于点G,交轴于点H．根据轴对称性可得，．

此时PG+GH+HF的最小值=．

∵ 点P坐标为（，），∴ 点的坐标为（，）．

∵ 点F是线段BC的中点，

∴ 点F的坐标为（，）．

∴ 点的坐标为（，）．

∵ 点，P两点的横坐相同，∴⊥轴．

∵ ，P两点关于轴对称，∴⊥轴．

∴ ．

∴．

即点Q按照要求经过的最短路径长为．

（3）如图2，在抛物线中，

令，

，

或，

由平移知，抛物线向右平移到，则平移了个单位，，

设点，

过点作轴交于，

直线的解析式为，

，

的面积等于的面积，

，

由（2）知，，

，

，

或或或（舍，

，或，或，．

综上所述，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （，）．