Question

设凸四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=60°，AB=6，BC=4，AD=2，如果BC边上一点E，线段DE将四边形ABCD面积二等分，求CE长．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：首先延长AD、BC交于点F，易得△FAB是正三角形，又由AB=6，BC=4，AD=2，求得DF=4，CF=2，即可得CD⊥BF，得到△FDC和△EDC均为直角三角形，又由S_{四边形ABCD}=S_△FAB-S_△FCD=2S_△CDE，即可得

1

2

×6×3

3

-

1

2

×2×2

3

=2×

1

2

×2

3

×CE，继而求得答案．

解答：解：延长AD、BC交于点F，
∵∠DAB=∠ABC=60°，
∴AF=BF，
∴△FAB是正三角形，
∴AF=BF=AB=6，
∴DF=AF-AD=6-2=4，CF=BF-BC=6-4=2，
∵∠F=60°，
∴DC⊥BF，
∴△FDC和△EDC均为直角三角形，
∴S_{四边形ABCD}=S_△FAB-S_△FCD=2S_△CDE，
∵DC=

DF2-CF2

=2

3

，
∵△OAB的高为：AF•sin60°=6×

3

2

=3

3

，
∴

1

2

×6×3

3

-

1

2

×2×2

3

=2×

1

2

×2

3

×CE，
∴CE=

7

2

．

点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．