题目内容
已知:如图,CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,AB是⊙O的直径,连OC交⊙O于E,连ED、EB.
(1)试猜想∠ACD与∠BED的数量关系?并证明你的结论;
(2)若⊙O的半径为5,ED=2
,求sin∠BED的值.
(1)试猜想∠ACD与∠BED的数量关系?并证明你的结论;
(2)若⊙O的半径为5,ED=2
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考点:切线的性质,圆周角定理
专题:
分析:(1)连接OD,求出∠ACD=∠DOB,根据圆周角定理得出∠BOD=2∠BED,求出即可;
(2)连接AD,求出∠DCO=∠ODM=∠BED,求出OM,解直角三角形求出即可.
(2)连接AD,求出∠DCO=∠ODM=∠BED,求出OM,解直角三角形求出即可.
解答:(1)答:∠ACD与∠BED的数量关系是∠ACD=2∠BED,
证明:连接OD,
∵CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,
∴∠CAO=∠CDO=90°,
∴∠ACD+∠AOD=360°-90°-90°=180°,
∵∠AOD+∠BOD=180°,
∴∠ACD=∠BOD,
由圆周角定理得:∠BOD=2∠BED,
∴∠ACD=2∠BED.
(2)解:连接AD交CO于M,
∵CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,
∴AC=CD,∠ACO=∠DCO=
∠ACD,
∵∠ACD=2∠BED,
∴∠BED=∠DCO,
∵AC=CD,∠ACO=∠DCO,
∴CO⊥AD,
∴∠DMO=90°=∠CDO,
∴∠DCO+∠DOM=90°,∠ODM+∠DOM=90°,
∴∠ODM=∠DCO=∠BED,
设OM=x,则EM=5-x,
由勾股定理得:DM2=(2
)2-(5-x)2=52-x2,
x=3,
在Rt△OMD中,sin∠BED=sin∠ODM=
=
.
证明:连接OD,
∵CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,
∴∠CAO=∠CDO=90°,
∴∠ACD+∠AOD=360°-90°-90°=180°,
∵∠AOD+∠BOD=180°,
∴∠ACD=∠BOD,
由圆周角定理得:∠BOD=2∠BED,
∴∠ACD=2∠BED.
(2)解:连接AD交CO于M,
∵CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,
∴AC=CD,∠ACO=∠DCO=
1 |
2 |
∵∠ACD=2∠BED,
∴∠BED=∠DCO,
∵AC=CD,∠ACO=∠DCO,
∴CO⊥AD,
∴∠DMO=90°=∠CDO,
∴∠DCO+∠DOM=90°,∠ODM+∠DOM=90°,
∴∠ODM=∠DCO=∠BED,
设OM=x,则EM=5-x,
由勾股定理得:DM2=(2
5 |
x=3,
在Rt△OMD中,sin∠BED=sin∠ODM=
OM |
OD |
3 |
5 |
点评:本题考查了切线的性质,解直角三角形,勾股定理,切线长定理的应用,主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中,要得到点A′(2,-1),需将点A(-2,1)( )
A、先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度 |
B、先向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度 |
C、先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度 |
D、先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度 |
当x=
-1,则代数式x2+5x-6=( )
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A、5-3
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B、3
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C、5
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D、3
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