题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线轴, 轴分别交于点A、B,抛物线经过点A和点B,与x轴的另一个交点为C,动点D从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向O点运动,同时动点E从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向A点运动,设运动的时间为t秒,0﹤t﹤5.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当t为何值时,以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似;

(3)当△ADE为等腰三角形时,求t的值;

(4)抛物线上是否存在一点F,使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出F点的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为

(2)t的值为

(3)t的值为

(4)符合条件的点F存在,共有两个(4,8),,-8).

【解析】(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值;(3)过E作EH⊥x轴于点H,过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值;(4)分当AD为边时,当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.

解:(1)A(6,0),B(0,8),依题意知,解得

.

(2)∵ A(6,0),B(0,8),∴OA=6,OB=8,AB=10,∴AD=t,AE=10-2t,

①当△ADE∽△AOB时, ,∴,∴

②当△AED∽△AOB时, ,∴,∴

综上所述,t的值为.

(3) ①当AD=AE时,t=10-2t,∴

②当AE=DE时,过E作EH⊥x轴于点H,则AD=2AH,由△AEH∽△ABO得,AH=,∴,∴

③当AD=DE时,过D作DM⊥AB于点M,则AE=2AM,由△AMD∽△AOB得,AM=,∴,∴

综上所述,t的值为.

(4) ①当AD为边时,则BF∥x轴,∴,求得x=4,∴F(4,8);

②当AD为对角线时,则,∴,解得,∵x﹥0,∴,∴.

综上所述,符合条件的点F存在,共有两个(4,8),,-8).

“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识,解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式,学会分类讨论,用方程的思想解决问题,属于中考压轴题.

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