题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴, 轴分别交于点A、B,抛物线经过点A和点B,与x轴的另一个交点为C,动点D从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向O点运动,同时动点E从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向A点运动,设运动的时间为t秒,0﹤t﹤5.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t为何值时,以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似;
(3)当△ADE为等腰三角形时,求t的值;
(4)抛物线上是否存在一点F,使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出F点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为;
(2)t的值为或;
(3)t的值为或或;
(4)符合条件的点F存在,共有两个(4,8),,-8).
【解析】(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值;(3)过E作EH⊥x轴于点H,过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值;(4)分当AD为边时,当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.
解:(1)A(6,0),B(0,8),依题意知,解得,
∴.
(2)∵ A(6,0),B(0,8),∴OA=6,OB=8,AB=10,∴AD=t,AE=10-2t,
①当△ADE∽△AOB时, ,∴,∴;
②当△AED∽△AOB时, ,∴,∴;
综上所述,t的值为或.
(3) ①当AD=AE时,t=10-2t,∴;
②当AE=DE时,过E作EH⊥x轴于点H,则AD=2AH,由△AEH∽△ABO得,AH=,∴,∴;
③当AD=DE时,过D作DM⊥AB于点M,则AE=2AM,由△AMD∽△AOB得,AM=,∴,∴;
综上所述,t的值为或或.
(4) ①当AD为边时,则BF∥x轴,∴,求得x=4,∴F(4,8);
②当AD为对角线时,则,∴,解得,∵x﹥0,∴,∴.
综上所述,符合条件的点F存在,共有两个(4,8),,-8).
“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识,解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式,学会分类讨论,用方程的思想解决问题,属于中考压轴题.