Question

【题目】如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．

（1）求直线AD及抛物线的解析式；

（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1），当m＝﹣时，PQ最长，最大值为；（3）存在，符合条件的点R共有6个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）R6（2，﹣1）．

【解析】

（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），代入可求出抛物线的解析式，点D在抛物线上且横坐标为﹣2，可求点D的坐标，根据A、D两点坐标，用待定系数法可求直线AD的解析式；

（2）点P在AD上，点Q在抛物线上，当横坐标为m时，相应的纵坐标可以根据解析式表示出来，而PQ的长l就是P点、Q点纵坐标的差，于是可以得到l与m的函数关系式，再依据函数的最值，可求m为何值时，PQ最长，PQ的最大值也能求出；

（3）使P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形，可以分两种情况：一是PQ为一边时，点R必在直线x＝﹣2上，再根据PQ为最大值以下的整数值，得到PQ的整数值，在直线x＝﹣2上可以找到点R的位置，确定点R的坐标，得出在点D上方存在，在点D下方也存在；二是PQ为一条对角线时，根据平行四边形的性质，PQ与DR互相平分，此时R与C 重合．

解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（1，0），B（﹣3，0）C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，

当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，

∴D（﹣2，﹣3），

设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：

解得：，

∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；

因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．

（2）∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），

∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）

∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

∴当m＝﹣＝时，PQ的长l最大＝﹣（﹣）2﹣（﹣）+2＝．

答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

当m＝﹣时，PQ最长，最大值为．

（3）①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：

∵PQ的长为0＜PQ≤的整数，

∴PQ＝1或PQ＝2，

当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；

当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R3（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；

②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，

当PQ＝1时，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此时x不是整数，

当PQ＝2时，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此时x1＝﹣1，x2＝0；当x1＝﹣1，R与点C重合，即R5（0，﹣3），当x2＝0；此时R6（2，﹣1）

综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3），

R6（2，﹣1）．

答：符合条件的点R共有6个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）R6（2，﹣1）．