Question

如图，在?ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连接AM．设AP=x
（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由；
（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等？

Answer 1

解：（1）四边形PMCN不可能是菱形．
点P在运动过程中，△PCM始终是一个直角三角形
斜边PM大于直角边MC
∴四边形PMCN不可能是菱形

（2）∵AC=BC=2，AB∥PM，
∴AP=BM=x，
∴S△ABM=×BM×AC=×x×2=x，
∵由巳知可得四边形PMCN是平行四边形，
∴S_{四边形PMCN}=MC•PC=（2-x）²
解得x₁=1，x₂=4
x₂=4不符合题意，舍去
当x=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等．
分析：（1）由题可知，四边形PMCN是一个?，而要想成为一个菱形，则必须有邻边相等，如PM=MC，而PM和MC同在一直角三角形中，且PM为斜边＞直角边MC，因此不会为菱形；
（2）S_△ABM=x，由巳知可得四边形PMCN是平行四边形，则S_{四边形PMCN}=（2-x）²
解得x₁=1，x₂=4而x₂=4不符合题意，舍去∴当x=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等．
点评：此题主要考查了平行四边形和菱形的概念和性质，难易程度适中．