Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，AE=AD，DE交对角线AC于点H，连接BH，有下列结论：
①△ACD≌△ACE，②△CDE为等边三角形，③AC⊥ED，④

EH

BE

=2
其中结论正确的是（　　）

A．①②

B．①②③

C．③④

D．①②③④

Answer 1

∵∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，

AE=AD ∠BAC=∠CAD AC=AC

，
∴△ACD≌△ACE（SAS），故①正确；

∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°，
∴△CDE为等边三角形，故②正确；

在△ADE中，∵AE=AD，∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故③正确；

设EH=a，则AH=EH=a，CH=

3

EH=

3

a，
∴AC=a+

3

a，
根据等腰直角三角形的性质，AE=

2

EH=

2

a，
AB=

2

2

AC=

2

2

（a+

3

a）=

2 a+ 6 a

2

，
∴BE=AB-AE=

2 a+ 6 a

2

-

2

a=

- 2 a+ 6 a

2

，
∴

EH

BE

=

- 2 a+ 6 a

2a

=

- 2 + 6

2

≠2，故④错误，
综上所述，正确的结论有①②③．
故选B．