题目内容
【题目】某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。
⑴该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在图③中（三角板一边与OC重合），CN2=BN2+CD2，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。
⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。
⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之 间所满足的数量关系（不需要证明）
【答案】⑴见解析⑵CM2+CN2=DM2+BN2，理由见解析⑶CM2－CN2+ DM2－BN2=2
【解析】⑴选择图①证明：
连结DN
∵矩形ABCD
∴BO=DO ∠DCN=900
∵ON⊥BD
∴NB=ND
∵∠DCN=900
∴ND2=NC2+CD2
∴BN2=NC2+CD2 (4分)
注：若选择图③，则连结AN同理可证并类比给分
⑵CM2+CN2=DM2+BN2 理由如下：
延长DO交AB于E
∵矩形ABCD
∴BO=DO ∠ABC=∠DCB=900
AB∥CD
∴∠ABO=∠CDO ∠BEO=∠DMO
∴△BEO≌△DMO
∴OE=OM BE=DM
∵MO⊥EM
∴NE=NM
∵∠ABC=∠DCB=900
∴NE2=BE2+BN2 NM2=CN2+CM2
∴CN2+CM2 =BE2+BN2
即CN2+CM2 =DM2+BN2 (4分)
⑶CM2－CN2+ DM2－BN2=2（2分）
（1）作辅助线，连接DN，在Rt△CDN中，根据勾股定理可得：ND2=NC2+CD2，再根据ON垂直平分BD，可得：BN=DN，从而可证：BN2=NC2+CD2；
（2）作辅助线，延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN2+CM2=DM2+BN2；
（3）根据正方形的性质知：OA=OB，∠OAM=∠OBN，∠AOB=∠AOM+∠BOM=90°，∠MON为直角三角板的直角，可知：∠MON=∠BOM+∠BON=90°，可得：∠AOM=∠BON，从而可证：△AOM≌△BON，AM=BN，又AB=BC，可得：BM=CN，在Rt△ADM和△BCM中，根据勾股定理：DM2=AM2+AD2=BN2+AD2，MC2=MB2+BC2=CN2+BC2，故可得：CM2-CN2+DM2-BN2=2．
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