题目内容

【题目】[发现]如图ACB=ADB=90°,那么点D在经过A,B,C三点的圆上(如图

[思考]如图,如果ACB=ADB=a(a≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A, B,C三点的圆上吗?

我们知道,如果点D不在经过A,B,C三点的圆上,那么点D要么在圆O外,要么在圆O内,以下该同学的想法说明了点D不在圆O外。

请结合图证明点D也不在O内.

[结论]综上可得结论:如图,如果ACB=ADB=a(点C,D在AB的同侧),那么点D在经过A,B,C三点的圆上,即:点A、B、C、D四点共圆。

[应用]利用上述结论解决问题:

如图,已知ABC中,C=90°,将ACB绕点A顺时针旋转一个角度得ADE,连接BE CD,延长CD交BE于点F,

(1)求证:点B、C、A、F四点共圆;

(2)求证:BF=EF.

【答案】【思考】证明见解析;【应用】(1证明见解析;(2)证明见解析

【解析】试题分析:【思考】假设点DO内,利用圆周角定理及三角形外角的性质,可证得与条件相矛盾的结论,从而证得点D不在O内;

[应用]

(1)由旋转的性质可得ACD=ABE,故BCAF四点共圆,

(2)由圆内接四边形的性质得BCA+BFA=180°即可证明.

【思考】

【证】如图,假设点DO内,延长ADO于点E,连接BE;则AEB=ACB

∵∠ADBDBE的一个外角

∴∠ADBAEB

∴∠ADBACB

这与条件ACB=ADB矛盾

D不在O

【应用】【证】(1)AC=ADAB=AE

∴∠ACD=ADCABE=AEB

∵∠CAB=DAE

∴∠CAD=BAE

2ACD+CAD=180°,2ABE+BAE=180°,

∴∠ACD=ABE

BCAF四点共圆,

(2)BCAF四点共圆,

∴∠BFA+BCA=180°,

∵∠ACB=90°,∴∠BFA=90°,

AFBE

AB=AE

BF=EF

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