题目内容
已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,2
),C(0,2
),点P在线段OA上(不与O、A重合),将纸片折叠,使点A落在射线AB上(记为点A’),折痕PQ与射线AB交于点Q,设OP=x,折叠后纸片重叠部分的面积为y.(图②供探索用)
(1)求∠OAB的度数;
(2)求y与x的函数关系式,并写出对应的x的取值范围;
(3)y存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时x的值;若不存在,说明理由.
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(1)求∠OAB的度数;
(2)求y与x的函数关系式,并写出对应的x的取值范围;
(3)y存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时x的值;若不存在,说明理由.
(1)∵两底边OA=10,CB=8,垂直于底的腰 OC=2
,
∴tan∠OAB=
=
,
∴∠OAB=60°.
(2)当点A′在线段AB上时,
∵∠OAB=60°,PA=PA′,
∴△A′PA是等边三角形,且QP⊥QA′,
∴PQ=(10-x)sin60°=
(10-x),A′Q=AQ=
AP=
(10-x),
∴y=S△AQP=
A′Q•QP=
(10-x)2,
当A?与B重合时,AP=AB=
=4,
所以此时6≤x<10;
当点A′在线段AB的延长线,且点Q在线段AB(不与B重合)上时,
纸片重叠部分的图形是四边形(如图②,其中E是PA′与CB的交点),
当点Q与B重合时,AP=2AB=8,点P的坐标是(2,0),
又由(2)中求得当A?与B重合时,P的坐标是(6,0),
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,2<x<6;
(3)y存在最大值.
①当6≤x<10时,y=
(10-x)2,
在对称轴x=10的左边,S的值随着x的增大而减小,
∴当x=6时,y的值最大是2
;
②当2≤x<6时,由图②,重叠部分的面积y=S△A′QP-S△A′EB,
∵△A′EB的高是A′B•sin60°,
∴y=
(10-x)2-
(10-x-4)2×
=
(-x2+4x+28)=-
(x-2)2+4
,
当x=2时,y的值最大是4
;
③当0<x<2,即当点A′和点Q都在线段AB的延长线是(如图③,其中E是PA?与CB的交点,F是QP与CB的交点),
∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF,四边形EPAB是等腰形,
∴EF=EP=AB=4,
∴y=
EF•OC=
×4×2
=4
.
综上所述,S的最大值是4
,此时x的值是0<x≤2.
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∴tan∠OAB=
2
| ||
10-8 |
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∴∠OAB=60°.
(2)当点A′在线段AB上时,
∵∠OAB=60°,PA=PA′,
∴△A′PA是等边三角形,且QP⊥QA′,
∴PQ=(10-x)sin60°=
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∴y=S△AQP=
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当A?与B重合时,AP=AB=
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sin60° |
所以此时6≤x<10;
当点A′在线段AB的延长线,且点Q在线段AB(不与B重合)上时,
纸片重叠部分的图形是四边形(如图②,其中E是PA′与CB的交点),
当点Q与B重合时,AP=2AB=8,点P的坐标是(2,0),
又由(2)中求得当A?与B重合时,P的坐标是(6,0),
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,2<x<6;
(3)y存在最大值.
①当6≤x<10时,y=
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在对称轴x=10的左边,S的值随着x的增大而减小,
∴当x=6时,y的值最大是2
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②当2≤x<6时,由图②,重叠部分的面积y=S△A′QP-S△A′EB,
∵△A′EB的高是A′B•sin60°,
∴y=
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当x=2时,y的值最大是4
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③当0<x<2,即当点A′和点Q都在线段AB的延长线是(如图③,其中E是PA?与CB的交点,F是QP与CB的交点),
∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF,四边形EPAB是等腰形,
∴EF=EP=AB=4,
∴y=
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综上所述,S的最大值是4
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