Question

如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，一次函数y=-

1

2

x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，且OC=

1

2

AB，反比例函数y=

k

x

的图象经过点C，则所有可能的k值为______．

Answer 1

在y=-

1

2

x+1中，令y=0，则x=2；令x=0，得y=1，
∴A（2，0），B（0，1）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=

5

．
设∠BAO=θ，则sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

．
当点C为线段AB中点时，有OC=

1

2

AB，
∵A（2，0），B（0，1），
∴C（1，

1

2

）．
以点O为圆心，OC长为半径作圆，与直线AB的另外一个交点是C′，则点C、点C′均符合条件．
如图，过点O作OE⊥AB于点E，则AE=OA•cosθ=2×

2 5

5

=

4 5

5

，
∴EC=AE-AC=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

．
∵OC=OC′，∴EC′=EC=

3 5

10

，∴AC′=AE+EC′=

4 5

5

+

3 5

10

=

11 5

10

．
过点C′作CF⊥x轴于点F，则C′F=AC′•sinθ=

11 5

10

×

5

5

=

11

10

，
AF=AC′•cosθ=

11 5

10

×

2 5

5

=

11

5

，
∴OF=AF-OA=

11

5

-2=

1

5

．
∴C′（-

1

5

，

11

10

）．
∵反比例函数y=

k

x

的图象经过点C或C′，1×

1

2

=

1

2

，-

1

5

×

11

10

=-

11

50

，
∴k=

1

2

或-

11

50

．

解法二：设C（m，-

1

2

m+1），
根据勾股定理，m²+（-

1

2

m+1）²=（

1

2

5

）²，
解得：m=-

1

5

或1．
∴k=

1

2

或-

11

50

．
故答案为：

1

2

或-

11

50

．