Question

【题目】如图直角坐标系中，以M（3，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．

（1）若C点坐标为（0，4），求点A坐标．

（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM=45°，若存在，求出满足条件的点P．

（3）过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0）；（2）P1（7，3），P2（﹣1，﹣3）；（3）AN的长不变为6．

【解析】

（1）结合题意，连接CM，根据点M和点C的坐标可得出⊙M的半径，即MA的长，利用M的坐标即可得出A的坐标；

（2）假设存在这样的点P，根据题意，可知△CMP为等腰直角三角形，且CM=MP=5．根据圆的方程和两点直接的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标；

（3）作MH⊥AN于H，则AH=NH，易证△AMH≌△MCO，故AH=M0．从而可证AH为一定值．

（1）如图①，连接CM，

在Rt△COM中，OC=4，OM=3，CM==5，

∴AM=5，

∴OA=2，

∴A（-2，0）；

（2）假设存在这样的点P（x，y），结合题意，

可得△CMP为等腰直角三角形，且CM=PM=5，

故CP=5；

结合题意有，

；

解之得：

，

即存在两个这样的点P；

P1（7，3），P2（﹣1，﹣3）；

（3）AN的长不变为6．

如图②，连接CM，作MH⊥AN于H，

则AH=HN，

∵EC切⊙M，

∴∠ECM=90°，

∴四边形DMCF是矩形，

∴∠CMH=90°，

在△AMH和△MCO中，

∵∠CMO=∠MAH=90°-∠AMH，

∠COM=∠ADM=90°，

CM=AM，

∴△AMH≌△MCO，

∴AH=MO=3，

即AN=HN+AH=3+3=6．