Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AEDF的三个顶点E（1，0），D（3，0），F（3，-4），以A为顶点的抛物线y=ax²+bx+c过点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C，D（C点在D点的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲，若线段AE上一动点P从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位向点E运动，运动时间为t秒，过点P作PM⊥AE交AD于点M，过点M作MN⊥AF于N，交抛物线于点G，当t为何值时，△ADG的面积最大？最大值为多少？
（3）如图乙，在直线l：y=x-5上存在一点P．
①当点P的坐标为

 

时，以点P，A，B，D为顶点的四边形是矩形；
②当点P的坐标为

 

时，以点P，A，B，D为顶点的四边形是非特殊平行四边形．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据矩形的性质写出点A的坐标，再设出顶点式解析式并把点D的坐标代入求解即可；
（2）根据△APM和△AED相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出PM，从而求出点M的横坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，根据抛物线与直线AD的解析式表示出MG，再根据S_△ADG=S_△AMG+S_△DMG列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）先求出点B的坐标，直线BD的解析式，①根据点A、B、D的坐标求出∠ABD=90°，再根据矩形的性质，BD向右平移一个单位，向下平移一个单位，点D对应点的位置即为点P的位置；
②根据平行四边形的性质，BD向左平移2个单位，向下平移4个单位，点B对应点的位置即为点P的位置．

解答：解：（1）∵矩形AEDF的顶点E（1，0），F（3，-4），
∴点A的坐标为（1，-4），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²-4，
将点D（3，0）代入得，a（3-1）²-4=0，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；

（2）∵点P的运动速度为每秒1个单位，
∴AP=t，
∵PM⊥AE，DE⊥AE，
∴△APM∽△AED，
∴

PM

DE

=

AP

AE

，
即

PM

3-1

=

t

4

，
解得PM=

t

2

，
∴点M的横坐标为1+

t

2

，
∵MN⊥AF，
∴点G的横坐标为1+

t

2

，
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=-4 3k+b=0

，
解得

k=2 b=-6

，
∴直线AD的解析式为y=2x-6，
∴MG=[2（1+

t

2

）-6]-[（1+

t

2

-1）²-4]，
=2+t-6-

t2

4

+4，
=-

t2

4

+t，
∴S_△ADG=S_△AMG+S_△DMG，
=

1

2

MG•DE，
=

1

2

×（-

t2

4

+t）×2，
=-

t2

4

+t，
=-

1

4

（t-2）²+1，
∵-

1

4

＜0，
∴当t=2时，△ADG的面积最大，最大值为1；

（3）令x=0，则y=-3，
∴点B（0，-3），
易求直线BD的解析式为y=x-3，
①∵A（1，-4），D（3，0），
∴∠ABD=180°-45°×2=90°，
∴BD向右平移一个单位，向下平移一个单位，点D的对应点即为点P，
∴点P（4，-1）；
②BD向左平移2个单位，向下平移4个单位，点B的对应点即为点P，
∴点P为（-2，-7）．
故答案为：（4，-1）；（-2，-7）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，平行四边形的性质，以及三角形的面积，（2）求出MG的长是解题的关键，（3）利用平移点的性质求解更加简便．