题目内容
已知:如图,△ABC中,BD,CE分别平分∠B和∠C,P是DE中点,过点P作BC,CA,AB的垂线,垂足分别为L,M,N,求证:PL=PM+PN.
考点:角平分线的性质,三角形中位线定理,梯形中位线定理
专题:证明题
分析:过D作DF⊥BC交BC于F,过E作EG⊥BC交BC于G,过D作DH⊥AB交AB于H,过E作EK⊥AC交AC于K.
由DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC,可知DF∥PL∥EG,进而可得出PL是梯形DEGF的中位线,所以PL=
.由角平分线的性质可知EG=EK,DF=DH,同理可得PM是△DEK的中位线,PN是△DEH的中位线,再通过等量代换即可得出结论.
由DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC,可知DF∥PL∥EG,进而可得出PL是梯形DEGF的中位线,所以PL=
DF+EG |
2 |
解答:解:过D作DF⊥BC交BC于F,过E作EG⊥BC交BC于G,过D作DH⊥AB交AB于H,过E作EK⊥AC交AC于K.
∵DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC,
∴DF∥PL∥EG,
又∵PD=EP,
∴PL是梯形DEGF的中位线,
∴PL=
.
∵点E在∠ACB的平分线上,
∴EG=EK.
∵点D在∠ABC的平分线上,
∴DF=DH.
∴PL=
.
∵PM⊥AC、EK⊥AC,
∴PM∥EK,
又∵DP=EP,
∴PM是△DEK的中位线,
∴EK=2PM.
∵PN⊥AB、DH⊥AB,
∴PN∥DH,
又∵DP=EP,
∴PN是△DEH的中位线,
∴DH=2PN.
∵PL=
,EK=2PM、DH=2PN,
∴PL=PM+PN.
∵DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC,
∴DF∥PL∥EG,
又∵PD=EP,
∴PL是梯形DEGF的中位线,
∴PL=
DF+EG |
2 |
∵点E在∠ACB的平分线上,
∴EG=EK.
∵点D在∠ABC的平分线上,
∴DF=DH.
∴PL=
DH+EK |
2 |
∵PM⊥AC、EK⊥AC,
∴PM∥EK,
又∵DP=EP,
∴PM是△DEK的中位线,
∴EK=2PM.
∵PN⊥AB、DH⊥AB,
∴PN∥DH,
又∵DP=EP,
∴PN是△DEH的中位线,
∴DH=2PN.
∵PL=
DH+EK |
2 |
∴PL=PM+PN.
点评:本题考查的是角平分线的性质,涉及到三角形、等腰梯形的中位线定理,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中,AD为BC边上的中线,若AB=6,AC=4,设AD=x,则x的取值范围是( )
A、0<x<10 |
B、2<x<8 |
C、1<x<5 |
D、2<x<10 |
已知关于x的方程(m+1)x2-2(m-1)x+m=0有实数根,则m的取值范围是( )
A、m≤
| ||
B、m≥
| ||
C、m<
| ||
D、m≤
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