题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b与x轴交于点A(5,0),与y轴交于点B;直线y═x+6过点B和点C,且AC⊥x轴.点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动,同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动,当点M到达点O时,点M、N同时停止运动,设点M运动的时间为t(秒),连接MN.
(1)求直线y=kx+b的函数表达式及点C的坐标;
(2)当MN∥x轴时,求t的值;
(3)MN与AB交于点D,连接CD,在点M、N运动过程中,线段CD的长度是否变化?如果变化,请直接写出线段CD长度变化的范围;如果不变化,请直接写出线段CD的长度.
【答案】(1)y=﹣x+6,点C的坐标为(5,10);(2)t=
;(3)线段CD的长度不变化,CD=
.理由见解析
【解析】
(1)先求出点C和点B的坐标,再根据待定系数法,即可求得答案;
(2)分别用含t的代数式表示OM和AN的长,列出关于t的方程,即可求解;
(3)过点D作EF∥x轴,交OB于E,交AC于F,由△BDM∽△ADN,得,从而得DF的长,由△BDE∽△ADF,得EO=FA=
,从而得CF的长,进而即可求解.
(1)∵AC⊥x轴,点A(5,0),
∴点C的横坐标为5,
对于y═x+6,当x=5时,y=
×5+6=10,
对于x=0,y=6,
∴点C的坐标为(5,10),点B的坐标为(0,6),
∵直线y=kx+b与x轴交于点A(5,0),与y轴交于点B(0,6),
∴,解得,
,
∴直线y=kx+b的函数表达式为:y=﹣x+6,
综上所述,直线y=kx+b的函数表达式为y=﹣x+6,点C的坐标为(5,10);
(2)由题意得,BM=2t,AN=3t,
∴OM=6﹣2t,
∵当OM=AN时,OM∥AN,
∴四边形EOAF为平行四边形,
∴MN∥x轴,
∴6﹣2t=3t,
解得,t=,
∴当MN∥x轴时,t=;
(3)线段CD的长度不变化,理由如下:
过点D作EF∥x轴,交OB于E,交AC于F,
∵EF∥x轴,BM∥AN,∠AOE=90°,
∴四边形EOAF为矩形,
∴EF=OA=5,EO=FA,
∵BM∥AN,
∴△BDM∽△ADN,
∴
∵EF=5,
∴DE=2,DF=3,
∵BM∥AN,
∴△BDE∽△ADF,
∴,
∴,
∵OB=6,
∴EO=FA=,
∴CF=AC﹣FA=,
∴CD==
.

【题目】下列数据是甲、乙、丙三人各10轮投篮的得分(每轮投篮10次,每次投中记1分):
丙得分的平均数与众数都是7,得分统计表如下:
测试序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
得分 | 7 | 6 | 8 | a | 7 | 5 | 8 | b | 8 | 7 |
(1)丙得分表中的a= ,b= ;
(2)若在他们三人中选择一位投篮得分高且较为稳定的投手作为主力,你认为选谁更合适?请用你所学过的统计知识加以分析说明(参考数据:,
,
);
(3)甲、乙、丙三人互相之间进行传球练习,每个人的球都等可能的传给其他两人,球最先从乙手中传出,经过三次传球后球又回到乙手中的概率是多少?(用树状图或列表法解答)