题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线ykx+bx轴交于点A50),与y轴交于点B;直线yx+6过点B和点C,且ACx轴.点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动,同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动,当点M到达点O时,点MN同时停止运动,设点M运动的时间为t(秒),连接MN

1)求直线ykx+b的函数表达式及点C的坐标;

2)当MNx轴时,求t的值;

3MNAB交于点D,连接CD,在点MN运动过程中,线段CD的长度是否变化?如果变化,请直接写出线段CD长度变化的范围;如果不变化,请直接写出线段CD的长度.

【答案】1y=﹣x+6,点C的坐标为(510);(2t;(3)线段CD的长度不变化,CD.理由见解析

【解析】

1)先求出点C和点B的坐标,再根据待定系数法,即可求得答案;

2)分别用含t的代数式表示OMAN的长,列出关于t的方程,即可求解;

3)过点DEFx轴,交OBE,交ACF,由△BDM∽△ADN,得,从而得DF的长,由△BDE∽△ADF,得EOFA,从而得CF的长,进而即可求解.

1)∵ACx轴,点A50),

∴点C的横坐标为5

对于yx+6,当x5时,y×5+610

对于x0y6

∴点C的坐标为(510),点B的坐标为(06),

∵直线ykx+bx轴交于点A50),与y轴交于点B06),

,解得,

∴直线ykx+b的函数表达式为:y=﹣x+6

综上所述,直线ykx+b的函数表达式为y=﹣x+6,点C的坐标为(510);

2)由题意得,BM2tAN3t

OM62t

∵当OMAN时,OMAN

∴四边形EOAF为平行四边形,

MNx轴,

62t3t

解得,t

∴当MNx轴时,t

3)线段CD的长度不变化,理由如下:

过点DEFx轴,交OBE,交ACF

EFx轴,BMAN,∠AOE90°

∴四边形EOAF为矩形,

EFOA5EOFA

BMAN

∴△BDM∽△ADN

EF5

DE2DF3

BMAN

∴△BDE∽△ADF

OB6

EOFA

CFACFA

CD

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