题目内容

【题目】如图,已知梯形ABCD中,ADBC,AC、BD相交于点O,AB⊥AC,AD=CD,AB=3,BC=5.求:
(1)tan∠ACD的值;
(2)梯形ABCD的面积.

【答案】
(1)解:作DE∥AB交BC于E,交AC于M,如图所示:

∵AB⊥AC,DE∥AB,

∴DE⊥AC,

∵AD=CD,

∴AM=CM,

∵AD∥BC,DE∥AB,

∴四边形ABED是平行四边形,

∴DE=AB=3,

在Rt△ABC中,AC= = =4,

∴AM=CM=2,

∵AD∥BC,

∴DM:EM=AM:CM=1:1,

∴DM=EM= DE=

∴tan∠ACD= = =


(2)解:梯形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积= ×3×4+ ×4× =9.


【解析】(1)作DE∥AB交BC于E,交AC于M,证出DE⊥AC,由等腰三角形的性质得出AM=CM,证明四边形ABED是平行四边形,得出DE=AB=3,在Rt△ABC中,由勾股定理求出AC=4,得出AM=CM=2,由平行线分线段成比例定理得出DM=EM= DE= ,即可求出tan∠ACD= = ;(2)梯形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积,即可得出答案.
【考点精析】通过灵活运用梯形的定义和解直角三角形,掌握一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形.两腰相等的梯形是等腰梯形;解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题.

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