题目内容
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=AD·AB;
(3)若⊙O的半径为2,∠ACD=30°,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】试题分析:(1)连接OC,根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC,推出OC∥AD,得出OC⊥EF,根据切线的判定推出即可;
(2)证△ADC∽△ACB,得出比例式,即可推出答案;
(3)求出等边三角形OAC,求出AC、∠AOC,在Rt△ACD中,求出AD、CD,求出梯形OCDA和扇形OCA的面积,相减即可得出答案.
试题解析:(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA,
∵∠DAC=∠BAC,
∴∠OCA=∠DAC,
∴OC∥AD,
∵AD⊥EF,
∴OC⊥EF,
∵OC为半径,
∴EF是⊙O的切线.
(2)证明:连接BC,
∵AB为⊙O直径,AD⊥EF,
∴∠BCA=∠ADC=90°,
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ACB∽△ADC,
∴
∴AC2=ADAB.
(3)解:∵∠ACD=30°,∠OCD=90°,
∴∠OCA=60°,
∵OC=OA,
∴△OAC是等边三角形,
∴AC=OA=OC=2,∠AOC=60°,
∵在Rt△ACD中,AD=AC=×2=1,
由勾股定理得:DC=,
∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA-S扇形OCA= .
【题目】寒假结束了,为了了解九年级学生寒假体育锻炼情况,王老师调查了九年级所有学生寒假体育锻炼时间,并随即抽取10名学生进行统计,制作出如下统计图表:
编号 | 成绩 | 编号 | 成绩 |
① | B | ⑥ | A |
② | A | ⑦ | B |
③ | B | ⑧ | C |
④ | B | ⑨ | B |
⑤ | C | ⑩ | A |
根据统计图表信息解答下列问题:
(1)将条形统计图补充完整;
(2)若用扇形统计图来描述10名学生寒假体育锻炼情况,分别求A,B,C三个等级对应的扇形圆心角的度数;
(3)已知这次统计中共有60名学生寒假体育锻炼时间是A等,请你估计这次统计中B等,C等的学生各有多少名?