Question

【题目】如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，DE 是⊙O的切线，连结OD，OE

（1）求证：∠DEA=90°；

（2）若BC=4，写出求 △OEC的面积的思路.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）思路见解析.

【解析】试题分析：（1）由△ABC 是等腰三角形，可得CA=CB，则∠A = ∠B，又由OD=OB，可得∠ODB = ∠B，所以∠A = ∠ODB，即OD ∥AC，又由DE是⊙O的切线，可得OD⊥DE，所以AC⊥DE，继而可证得结论；（2）首先根据三角函数的性质，求得AD、CD、ED、AE、EC的长，然后求得△DEC，再根据△CDE以及△OEC的面积相等，继而求得答案；

试题解析：

(1)连结OD，如图所示：

∵ △ABC 是等腰三角形

∴CA=CB

∴∠A = ∠B

又OD=OB

∴∠ODB = ∠B

∴∠A = ∠ODB

∴OD ∥AC

∵DE是⊙O的切线

∴OD⊥DE,

∴AC⊥DE

∴∠DE A=90°

(2)连结CD ，由BC是直径，得∠CDB=∠CDA=90°

由 Rt△CDA 中，BC=AC=4 ， ∠ A=30° 得 AD,CD

由Rt△AED 中， ∠ A=30° ，AD的长，得ED，AE进而求得EC

由DE,AE的长得△DEC的面积

由 OD ∥AC，△DEC的面积和△OEC的面积相等，得△OEC的面积