Question

【题目】已知，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点H．

（1）如图1，连接OA、OC，若BH=AC，求∠AOC的度数．

（2）如图2延长BE交⊙O于点G，求证：HE=GE；

（3）如图3，在（2）的条件下，P是弦AC上一点，过点P作PM∥BC交AB于点M，若∠PCD+2∠PDC=90°，BM=，AM=，求⊙O半径．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）5

【解析】

（1）由“AAS”可证△BDH≌△ADC，可得BD＝AD，可得∠DBA＝∠DAB＝45°，由圆周角定理可求∠AOC的度数；

（2）连接AG，证明∠AHG＝∠G，可得AH＝AG，利用等腰三角形的性质可得HE＝GE；

（3）由平行线分线段成比例可求，通过证明△ADC∽△BAH，可求BH的长，即可求解．

解：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠EBC＝90°，

∴∠DAC＝∠EBC，且∠BDH＝∠ADC＝90°，BH＝AC，

∴△BDH≌△ADC（AAS）

∴BD＝AD，且AD⊥BD，

∴∠DBA＝∠DAB＝45°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝90°；

（2）连接AG，

∵∠GAC＝∠GBC，且∠GAC＋∠G＝90°，∠GBC＋∠BHD＝90°，

∴∠G＝∠BHD，

∵∠BHD＝∠AHG，

∴∠AHG＝∠G，

∴AH＝AG，且AC⊥BE，

∴HE＝GE；

（3）连接BO并延长交圆O于H，连接AH，

∵PM∥BC，

∴，

∵∠PCD＋2∠PDC＝90°，

∴∠PCD＝90°2∠PDC，

∵∠APD＝∠PCD＋∠PDC＝90°∠PDC，且∠ADP＝90°∠PDC，

∴∠APD＝∠ADP，

∴AD＝AP，

∵PM∥BC，

∴，

∴，

∵BH是直径，

∴∠BAH＝90°＝∠ADC，且∠H＝∠ACB，

∴△ADC∽△BAH，

∴，

∴，

∴BH＝10，

∴⊙O半径为5．