题目内容

【题目】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题.

1)如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BOCO的交点,试证明∠BOC90°+

2)如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BOCO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?请说明理由.

3)如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BOCO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?(只写结论,不需证明)

【答案】1)见解析;(2)∠BOC=,理由见解析;(3)∠BOC=90°

【解析】

1)利用△ABC和△BOC的内角和为180°进行角度转化可得结论;

2)设∠ABO=x,∠ACO=y,利用△ABC和△OBC的内角和,可得出2个关于xy、∠A、∠BOC的方程,消去xy可得;

3)设∠DBO=x,∠ECO=y,利用△ABC和△OBC的内角和,可得出2个关于xy、∠A、∠BOC的方程,消去xy可得.

1)∵OBOC分别时∠ABC和∠ACB的角平分线

∴∠ABO=21,∠ACB=2∠2

在△ABC中,∠A+2∠1+2∠2=180°,化简得:∠A+2(∠1+∠2)=180°

在△BOC中,∠1+∠2+∠BOC=180°,化简得:∠1+∠2=180°-∠BOC,代入上式得:

A+2(180°-∠BOC)=180°

化简得:∠BOC=90°+

2)设∠ABO=x,∠ACO=y

OABC与外角ACD的平分线BOCO的交点

∴∠OBC=∠OBA=x,∠OCD=∠OCA=y,∠ACB=180°2y

∴在△ABC中,∠A+2x+(180°2y)=180°,化简得:∠A=2(yx)

在△BOC中,x+∠BOC+(180°2y+y)=180°,化简得:∠BOC=(yx)

BOC=

3)设∠DBO=x,∠ECO=y

同理,∠OBC=x,∠OCB=y,∠ABC=180°2x,∠ACB=180°2y

∴在△ABC中,∠A+(180°2x)+ (180°2y)=180°,化简得:2(x+y)-∠A=180°

在△OBC中,x+y+BOC=180°,化简得:x+y=180°-∠BOC,代入上式得:

∠A+2∠BOC=180°,即:∠BOC=90°

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