题目内容
【题目】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题.
(1)如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,试证明∠BOC=90°+
(2)如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?请说明理由.
(3)如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?(只写结论,不需证明)
【答案】(1)见解析;(2)∠BOC=,理由见解析;(3)∠BOC=90°-
【解析】
(1)利用△ABC和△BOC的内角和为180°进行角度转化可得结论;
(2)设∠ABO=x,∠ACO=y,利用△ABC和△OBC的内角和,可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程,消去x、y可得;
(3)设∠DBO=x,∠ECO=y,利用△ABC和△OBC的内角和,可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程,消去x、y可得.
(1)∵OB、OC分别时∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠ABO=2∠1,∠ACB=2∠2
在△ABC中,∠A+2∠1+2∠2=180°,化简得:∠A+2(∠1+∠2)=180°
在△BOC中,∠1+∠2+∠BOC=180°,化简得:∠1+∠2=180°-∠BOC,代入上式得:
∠A+2(180°-∠BOC)=180°
化简得:∠BOC=90°+
(2)设∠ABO=x,∠ACO=y
∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点
∴∠OBC=∠OBA=x,∠OCD=∠OCA=y,∠ACB=180°-2y
∴在△ABC中,∠A+2x+(180°-2y)=180°,化简得:∠A=2(y-x)
在△BOC中,x+∠BOC+(180°-2y+y)=180°,化简得:∠BOC=(y-x)
∴∠BOC=
(3)设∠DBO=x,∠ECO=y
同理,∠OBC=x,∠OCB=y,∠ABC=180°-2x,∠ACB=180°-2y
∴在△ABC中,∠A+(180°-2x)+ (180°-2y)=180°,化简得:2(x+y)-∠A=180°
在△OBC中,x+y+∠BOC=180°,化简得:x+y=180°-∠BOC,代入上式得:
∠A+2∠BOC=180°,即:∠BOC=90°-
