题目内容
【题目】（2018郑州模拟）如图，抛物线
过点
，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，直线l的解析式为
，抛物线的对称轴与线段BC交于点P，过点P作直线l的垂线，垂足为点H，连接OP，求
的面积；
（3）把图①中的直线向下平移4个单位长度得到直线
，如图②，直线与x轴交于点G．点P是四边形ABCO边上的一点，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足分别为点E、F．是否存在点P，使得以P、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）存在，点
坐标为(0，4)或
或(4，6)或
．
【解析】
解：(1)∵抛物线
过点
，
，
解得
，
∴抛物线的解析式为
；
(2)∵该抛物线的对称轴为直线
，
，
如解图①，延长
交
轴于点
，∵直线
的解析式为
，
均为等腰直角三角形，
，
，
可得
．
；
(3)存在满足条件的点，点坐标为(0，4)或
或(4，6)或
时，以
为顶点的三角形是等腰三角形．
[解法提示]设直线
与
轴、轴分别交于点
、点
，则
，
假设存在满足条件的点，
(a)当点在线段
上时，如解图②所示，此时点
与点
重合，
设
，
则
，
，
过点
作
轴于点
，
则
，
，
在
中，
，
若
，则
，解得
，故此种情形不存在；
若
，则
，
整理得
，
即
，不成立，故此种情形不存在；
若
，则
，
整理得
，即
，解得
．
；
(b)当点在
边上时，如解图③，此时
，
若
，
过点分别作
于点
，
轴于点
，
易知
为等腰直角三角形，
，
，
∴将
代入
，
得
，
，
，
．
(c)当点在线段
上时，如解图④，
，
∴可求得直线
的解析式为
；
联立与，解得
，
．
设
，
则
，
，
．
与(a)同理，可求得
，
若，则
，解得
，故此种情形不存在；
若，则
，
整理得，即
，解得，符合条件，此时
；
若，
则
，
整理得，即
，解得
，故此种情形不存在；
(d)当点在线段
上时，如解图⑤所示．
的夹角为135°，
∴只可能是成立，
∴点在
的平分线上．
设此角平分线与轴交于点，过点作
直线于点，
则
，
，
，
解得
，
，
又
，
∴直线
的解析式为：
，
联立直线
与直线
，
求得
；
(e)当点在
边上时，此时
，等腰三角形不存在；
综上所述，存在满足条件的点P，且点坐标为：
．
