Question

如图,点A、E,是半圆周上的三等分点,直径=2,,垂足为,连接交于,过作∥交于．

（1）判断直线与⊙的位置关系,并说明理由．
（2）求线段的长．

Answer 1

（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切,理由见解析;（2）AF的长是．

试题分析:（1）求出弧AB=弧AE=弧EC,推出OA⊥BE,根据AG∥BE,推出OA⊥AG,根据切线的判定即可得出答案;
（2）求出等边三角形AOB,求出BD、AD长,求出∠EBC=30°,在△FBD中,通过解直角三角形求出DF即可．
试题解析:（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切,
理由是:连接OA,

∵点A,E是半圆周上的三等分点,
∴弧AB=弧AE=弧EC,
∴点A是弧BE的中点,
∴OA⊥BE,
又∵AG∥BE,
∴OA⊥AG,
∴AG与⊙O相切;
（2）∵点A,E是半圆周上的三等分点,
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°,
又∵OA=OB,
∴△ABO为正三角形,
又∵AD⊥OB,OB=1,
∴BD=OD=,AD=,
又∵∠EBC=∠EOC=30°（圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）,
在Rt△FBD中,FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=×=,
∴AF=AD﹣DF=﹣=．
答:AF的长是．
考点:1.切线的判定,2.等边三角形的判定与性质,3.垂径定理．