Question

如图，在平面直角坐标系中0A＝2，0B＝4，将△OAB绕点O顺时针旋转90°至△OCD，若已知抛物线过点A、D、B.
  
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连结DB，将△COD沿射线DB平移，速度为每秒个单位.
①经过多少秒O点平移后的O′点落在线段AB上？
②设DO的中点为M，在平移的过程中，点M、A、B能否构成等腰三角形？若能，求出构成等腰三角形时M点的坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）① ；②（－1，－1）或（）或（4，－6）

试题分析：（1）先根据题意求的点A、B、D的坐标，再根据待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）①设经过t秒O点平移后的O′点落在线段AB上，即可得到点O′的坐标为(t，-t)，再求得直线AB解析式，从而求得结果；②先根据线段中点的性质得到点M的坐标，再分MA=MB、AB=AM、BA=BM三种情况求解即可.
（1）由题意得A（2，0） B(0，-4)  D(-4，0)
∴，解得
∴此抛物线的解析式为；
（2）①设经过t秒O点平移后的O′点落在线段AB上，
则点O′的坐标为(t，-t)
易得AB解析式为，则，解得
答：经过秒O点平移后的O′点落在线段AB上；
（3）由题意得DO的中点M的坐标为（）
当MA=MB时，可得M（－1，－1）
当AB=AM时，可得M（）
当BA=BM时，可得M（4，－6）.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．