Question

在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3:4，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N，以AM、AN为邻边作矩形AMPN，其对角线交点为G。直线MP、NP分别与边BC相交于点E、F，设AP=x。

图1                        图2
（1）求AB、AC的长；
（2）如图2，当点P落在BC上时，求x的值；
（3）当EF=5时，求x的值；
（4）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合部分的面积为y。试求y关于x的函数表达式，并求出y的最大值。

Answer 1

（1）AB="8,AC=6;" (2) x=5；(3)x=2.5或7.5 （4）当0<x≤5时,;；当5<x<10时,
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试题分析：（1）在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3:4，而根据三角函数tan∠ABC=，令AC=3K；AB=4K；）在△ABC中由勾股定理解得K=2；所以AB=8,AC=6;
(2) 在△ABC中，∠A=90°，当点P落在BC上时以AM、AN为邻边作矩形AMPN，那么点P是BC的中点，所以AP是直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半，所以x=5；
(3) 当EF=5时；根据题意BF=CE=2.5;∵MN//BC，NF//AB，ME//AC ∴四边形BFNM和四边形CEMN都是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∴MN=BF；矩形AMPN，所以AP=MN=2.5;同理解得AP=7.5；所以x=2.5或7.5；
（4）当0<x≤5时,;
当5<x<10时,
;
故
点评：本题主要考查平行四边形的判定方法和性质，矩形的性质，对它们的熟练掌握是解本题的关键