题目内容
【题目】如图，直线AB：y=kx+b交抛物线y=
于点A、B（A在B点左侧），过点B的直线BD与抛物线只有唯一公共点，且与y轴负半轴交于点D．
（1）若k=
，b=2，求点A、B两点坐标；
（2）AB交y轴于点C，若BC=CD，OC=CE，点E在y轴正半轴上，EF∥x轴，交抛物线于点F，求EF的长；
（3）在（1）的条件下，P为射线BD上一动点，PN∥y轴交抛物线于点N，交直线于点Q，PM∥AN交直线于点M，求MQ的长．
【答案】（1）A（﹣2，1），B（4，4）；（2）2
；（3）3
．
【解析】
（1）先表示出直线AB解析式，联立抛物线解析式，建立方程组即可求出点A，B坐标；
（2）设出直线BD解析式，联立抛物线解析式，建立方程，利用判别式为0，得出c=-a2，B（2a，a2），表示出C的坐标，利用BC=CD建立方程求出b=1，进而求出E，F的坐标，即可得出结论．
（3）先求出直线BD解析式，利用有唯一交点，求出直线BD解析式，设出点P坐标，进而表示出Q，N坐标，进而求出直线AN解析式，利用平行求出直线PM解析式，即可得出点M坐标，最后用两点间距离公式即可得出结论．
解：（1）∵k=
，b=2，
∴直线AB：y=x+2①，
∵抛物线
②，
联立①②解得，
或
，
∴A（﹣2，1），B（4，4）；
（2）设直线BD的解析式为y=ax+c③，
∵抛物线④，
联立③④得，x2﹣4ax﹣4c=0，
∵直线BD与抛物线只有唯一公共点，
∴△=16a2+16c=0，
∴c=﹣a2，
∴直线BD的解析式为y=ax﹣a2，
∴B（2a，a2），D（0，﹣a2）
∵直线AB：y=kx+b，
∴C（0，b），
∴CD2=（b+a2）2，BC2=4a2+（a2﹣b）2，
∵BC=CD，
∴（b+a2）2=4a2+（a2﹣b）2，
∴b=1，
∴OC=1，
∵OC=CE，
∴CE=1，
∴OE=2，
令y=2，则有
x2=2，
∴x=±2，
∴EF=2；
（3）由（1）知，直线AB：y=x+2，A（﹣2，1），B（4，4），
∴设直线BD的解析式为y=k'（x﹣4）+4⑤，
∵抛物线⑥，
联立⑤⑥得，x2﹣4k'x+16k'﹣16=0，
∵直线BD与抛物线只有唯一公共点，
∴△=16k'2﹣4（16k'﹣16）=0，
∴k'=2，
∴直线BD的解析式为y=2（x﹣4）+4=2x﹣4，
设P（m，2m﹣4），
∴Q（m，m+2），N（m， m2），
∵A（﹣2，1），
∴直线AN的解析式为y=
x+m，
∵PM∥AN，P（m，2m﹣4），
∴直线PM的解析式为y=x+（m﹣2）（8﹣m）⑦，
∵直线AB：y=x+2⑧，
联立⑦⑧解得，M（m﹣6，（m﹣2）），
∵Q（m， m+2），
∴MQ2=（m﹣6﹣m）2+[（m﹣2）﹣m+2]2=36+9=45，
∴MQ=3．
