Question

【题目】若一次函数的图象与轴，轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式；

（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在轴右侧），连接交于点F，连接，．

①当时，求点P的坐标；

②求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①点或；②

【解析】

（1）先求的点A、C的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；

（2）设交于点M．由可得，．再由，根据平行线的性质可得，所以．已知平分，根据角平分线的定义可得．利用AAS证得．由全等三角形的性质可得． 由此即可求得点M的坐标为（0，-1）．再由，即可求得直线解析式为；

（3）①由可得．过点P作交于点N，则．根据相似三角形的性质可得．由此即可求得．设，可得．所以．由此即可得=2，解得．即可求得点或；②由①得．即．再根据二次函数的性质即可得．

（1）解：令，得．令时，．

∴．

∵抛物线过点，

∴．

则，将代入得

解得

∴二次函数表达式为．

（2）解：设交于点M．

∵，

∴，．

∵，

∴．

∴．

∵平分，

∴．

又∵，

∴．

∴．

由条件得：．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴直线解析式为．

（3）①，

∴．

过点P作交于点N，则．

∴．

∵，

∴．

∵直线的表达式为，

设，

∴．

∴．

∴，则，解得．

∴点或．

②由①得：．

∴．

∴有最大值，．