题目内容
【题目】如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！
（探究一）如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．
（探究二）阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高，那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．
（探究三）在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）CF平分∠BFE （3）BF=AF+CF
【解析】
探究一：先证明
，得出
，又根据对顶角相等，得出
，最后得出
，得出.
探究二：过点C作
，
，垂足分别为M、N，可证
，根据，，可得CF平分∠BFE.
探究三：在AB上取一点H，使得
，先证
，得到
，根据探究一、二，得：
，
为等边三角形，得到BF=BH+HF=AF+CF，即BF=AF+CF.
（1）解：∵△ABC和△DCE均为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60°
∴∠BCD=∠ACE
在△BCD和△ACE中，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）过点C作，，垂足分别为M、N，由探究一得：
∴
又∵，
∴CF平分∠BFE.
（3）在AB上取一点H，使得
由得：
∠CAE=∠CBD
在△BCH和△ACF中，
∴
∴
由探究一、二，得：
∴为等边三角形
∴CF=CH=CF
∴BF=BH+HF=AF+CF
即BF=AF+CF.
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