题目内容

【题目】等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.

(1)若AE=CF;

①求证:AF=BE,并求APB的度数;

②若AE=2,试求APAF的值;

(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.

【答案】(1)见解析;②12(2)或3

【解析】

试题分析:(1)①证明ABE≌△CAF,借用外角即可以得到答案;②利用勾股定理求得AF的长度,再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值,即可以得到答案.

(2)当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时ABP为等腰三角形,继而求得半径和对应的圆心角的度数,求得答案.点F靠近点B时,点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度;

(1)①证明:∵△ABC为等边三角形,

AB=ACC=CAB=60°

AE=CF

ABECAF中,

∴△ABE≌△CAF(SAS),

AF=BEABE=CAF

∵∠APE=BPF=ABP+BAP

∴∠APE=BAP+CAF=60°

∴∠APB=180°APE=120°

∵∠C=APE=60°PAE=CAF∴△APE∽△ACF

,即,所以APAF=12

(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.

①当AE=CF时,点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时ABP为等腰三角形,且ABP=BAP=30°

∴∠AOB=120°

AB=6

OA=

点P的路径是

②当AE=BF时,点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为:

所以,点P经过的路径长为或3

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