题目内容
【题目】等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.
(1)若AE=CF;
①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;
②若AE=2,试求APAF的值;
(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.
【答案】(1)①见解析;②12;(2)或3.
【解析】
试题分析:(1)①证明△ABE≌△CAF,借用外角即可以得到答案;②利用勾股定理求得AF的长度,再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值,即可以得到答案.
(2)当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,继而求得半径和对应的圆心角的度数,求得答案.点F靠近点B时,点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度;
(1)①证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,
,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°.
②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,
∴,即,所以APAF=12
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.
①当AE=CF时,点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,
∴∠AOB=120°,
又∵AB=6,
∴OA=,
点P的路径是.
②当AE=BF时,点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为:.
所以,点P经过的路径长为或3.
【题目】某公司销售一种产品,每件产品的成本价、销售价及月销售量如表;为了获取更大的利润,公司决定投入一定的资金做促销广告,结果发现:每月投入的广告费为x万元,产品的月销售量是原销售量的y倍,且y与x的函数图象为如图所示的一段抛物线.
成本价(元/件) | 销售价(元/件) | 销售量(万件/月) |
2 | 3 | 9 |
(1)求y与x的函数关系式为 ,自变量x的取值范围为 ;
(2)已知利润等于销售总额减去成本费和广告费,要使每月销售利润最大,问公司应投入多少广告费?