Question

【题目】《函数的图象与性质》拓展学习展示：

（问题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线G1：与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，则a= ，b= ．

（操作）将图1中抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，G2在y轴左侧的部分与G1在y轴右侧的部分组成的新图象记为G，如图②．请直接写出图象G对应的函数解析式．

（探究）在图2中，过点C作直线l平行于x轴，与图象G交于D，E两点．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．

（应用）P是抛物线G2对称轴上一个动点，当△PDE是直角三角形时，直接写出P点的坐标．

Answer 1

【答案】问题：，1；操作：；探究：-4＜x＜-2或0＜x＜1；应用：（-2，+）或（-2，-）.

【解析】

问题：利用待定系数法将A和B的坐标代入，求出a和b的值即可；

操作：根据题意求出平移后的抛物线G2的表达式，结合G1的表达式即可得出结果；

探究：画出图像，求出两部分的抛物线的对称轴，以及D和E的坐标，结合开口方向，可得x的取值范围；

应用：由题意判断出∠DPE=90°，在△DPE中利用勾股定理求出PQ的长，从而得出点P坐标.

解：问题：∵抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，

∴，

解得：，

故答案为：，1；

操作：∵抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，

B（3,0），C（0，），，

∴平移后的抛物线G2的表达式为，

∵G2在y轴左侧的部分与G1在y轴右侧的部分组成的新图象记为G，

∴图像G的解析式为；

探究：由题意可得：当x≥0时，，开口向下，对称轴为直线x=1，

令y=0，解得：x1=0，x2=2，

∴E（2，），

∴当0＜x＜1时，y随x增大而增大；

当x＜0时，，开口向下，对称轴为直线x=-2，

令y=0，解得：x1=-4，x2=0，

∴点D（-4，），

∴当-4＜x＜-2时，y随x增大而增大；

综上：图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x的增大而增大时，

x的取值范围是当-4＜x＜-2或0＜x＜1；

应用：∵△PDE是直角三角形，P是抛物线G2对称轴上一个动点，

∴只存在∠DPE=90°，

由题意得：D（-4，），E（2，），

当点P在直线l上方时，如图，设直线l与G2的对称轴交于点Q，

可得Q（-2，），

∴DQ=2，QE=4，DE=6，PQ⊥DE，

设PQ=m，在△PDQ和△PEQ中，

PQ2+DQ2=PD2，PQ2+QE2=PE2，

即，，

在△PDE中，PD2+PE2=DE2，

即，

解得：m=或m=（舍），

∴m+=+，

∴点P的坐标为（-2，+），

当点P在直线l下方时，同理PQ=，

此时点P的坐标为（-2，-），

综上：点P的坐标为（-2，+）或（-2，-）.