题目内容

(本题12分)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2;对角线相交于O点,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上,使三角板绕点C旋转。

(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想DE与BF的数量关系,并加以证明。
(2)在(1)问条件下,若BE:CE=1:2,∠BEC=135°,求sin∠BFE的值。
(3)当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时,作DH⊥PE于H,如图2,若OF=时,求PE及DH的长。
(1)当三角板旋转到图1的位置时, DE=BF,证明略。
(2)sin∠BFE=
(3)PE=, DH=

分析:
(1)相等,证DE与BF所在的三角形全等即可;
(2)易得∠BEF=90°,那么可得到△BEF各边的比值进而求解;
(3)根据△CFP∽△CDO,利用相似三角形的性质解答。
解答:
(1)当三角板旋转到图1的位置时,DE=BF,

∵∠ECB+∠BCF=90°,∠DCE+∠ECB=90°,
∴∠DCE=∠BCF.
∵∠BCD=90°,AB∥CD
∴∠ABC=90°,∠BAC=∠ACD,
∵BC=2,AB=1,
∴tan∠BAC=2,
∵tan∠ADC=2,
∴∠BAC=∠ADC,
∴∠ACD=∠ADC,
∴AD=AC,
作AM⊥CD于点M,
∴CD=2MC=2AB=2,
∴CD=BC.
∵EC=CF,
∴△DCE≌△BCF.
∴DE=BF。
(2)∵∠BEC=135°,∠FEC=45°,
∴∠BEF=90°.
∵BE:CE=1:2,
∴BE:EF=1:2
∴sin∠BFE=BE:BF=1/3。
(3)

∵△CFP∽△CDO,
CF:CD=CP:CO=PF:DO
AC=
AO:CO=1:2,CO=2/3,
CF=2/3-/6=/2,
/2:2=CP:2/3,
CP=5/6,
∵DB=2,BO:DO=1:2,
∴DO=4/3,
∴PF=/3,PE=/6。
DP=2-5/6=7/6,
作CN垂直PF于N,
DH:CN=DP:CP,
得DH:7/20。
点评:两条线段相等,通常是证这两条线段所在的三角形全等;注意使用已得到的结论。
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网