Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B（2，0）．P为抛物线在x轴上方的一点（不落在y轴上），过点P作PD∥x轴交y轴于点D，PC∥y轴交x轴于点C．设点P的横坐标为m，矩形PDOC的周长为L．
（1）求b和c的值．
（2）求L与m之间的函数关系式．
（3）当矩形PDOC为正方形时，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c建立方程组求出b和c的值即可；
（2）因为点P的横坐标为m，且点P在y=-x²+x+2图象上，所以可以求出点P的纵坐标，由矩形的性质进而求出点D和点C的坐标，又因为点P的位置不确定，所以要分两种情况分别讨论L和m的函数关系①当点P在第一象限时②当点P在第二象限时；
（3）当矩形PDOC为正方形时，OC=OD，则当点P在第一象限时，m=-m²+m+2；当点P在第二象限时，-m=-m²+m+2，解一元二次方求出符合题意的m值即可．

解答：解：（1）将A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c得：

-1-b+c=0 -4+2b+c=0

，
∴

b=1 c=2

，
∴y=-x²+x+2．
∴b的值为1，c的值为2；                                 
（2）∵点P的横坐标为m，且点P在y=-x²+x+2图象上，
∴P（m，-m²+m+2）．
∵PD∥x轴，PC∥y轴，
∴四边形PDOC为矩形，
∴D（0，-m²+m+2），C（m，0），
①当点P在第一象限时，
∴PD=OC=m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4m+4，
∴L=-2m²+4m+4．
②当点P在第二象限时，
∴PD=OC=-m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=-2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4．
∴L=-2m²+4
∴L=-2m²+4m+4或L=-2m²+4．                        
（3）当矩形PDOC为正方形时，OC=OD，
当点P在第一象限时，m=-m²+m+2，
∴m1=

2

，m2=-

2

（舍），
当点P在第二象限时，-m=-m²+m+2，
∴m1=1+

3

（舍），m2=1-

3

．
∴当矩形PDOC为正方形时，m的值为

2

或1-

3

．

点评：本题考查了二次函数的确定方法、矩形的判定和性质以及正方形的性质、一元二次方程的运用，题目的难点体现在（2）和（3）两问中需要分类讨论的数学思想，防止遗漏问题的解．