Question

如图，一次函数y₁=ax+b（a≠0）的图象与反函数函数y2=

k

x

（k≠0）的图象交于二、四象限内A、B两点，与x轴交于点C（2，0），与y轴交于点D，已知AC=10，tan∠ACO=

4

3

．
（1）求函数y₁与y₂的关系式；
（2）若y轴上有一点e，使DE=4，且B（m，-

16

3

），求△ABE的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）由C坐标求出OC的长，在直角三角形COD中，根据tan∠ACO的值，利用锐角三角函数定义求出OD的长，确定出D坐标，将C与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式，根据A在一次函数图象上，设出A坐标，表示出AE于EC的长，由AC的长，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出A坐标，即可得出反比例解析式；
（2）将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，即为三角形ABE中，边DE上的高，求出面积即可．

解答：解：（1）∵C（2，0），∴OC=2，
在Rt△COD中，tan∠ACO=

OD

OC

=

4

3

，即OD=

8

3

，
∴D（0，

8

3

），
将C（2，0）和D（0，

8

3

）代入y₁=ax+b得：

2a+b=0 b= 8 3

，
解得：

a=- 4 3 b= 8 3

，
∴y₁=-

4

3

x+

8

3

；
过A作AE⊥x轴，与x轴交于E点，
设A（n，-

4

3

n+

8

3

），即AE=-

4

3

n+

8

3

，OE=-n，则有EC=OE+OC=2-n，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC²=AE²+EC²，即100=（-

4

3

n+

8

3

）²+（2-n）²，
解得：n=8（舍去）或n=-4，
∴A（-4，8），
将A代入反比例解析式得：k=-32，
则y₂=-

32

x

；

（2）将B（m，-

16

3

）代入反比例解析式得：-

16

3

=

-32

m

，即m=6，
∴S_△BED=

1

2

×DE×m=12．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．