Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+4ax+4与x轴仅有一个公共点，经过点A的直线交该抛物线于点C，交y轴于点B，且点B是线段AC的中点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求直线AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x+4；（2）y=4x+8．

【解析】（1）由它与x轴只有一个交点知△=0，即16a2-16a=0，解之可得；
（2）作CD⊥y轴，证△AOB≌△CDB得CD=AO=2，从而求得点C的坐标，再利用待定系数法求解可得直线解析式．

（1）∵它与x轴只有一个交点，

∴△=0，即16a2﹣16a=0，

解得：a=0（舍）或a=1，

所以y=x2+4x+4；

（2）如图，过C作CD⊥y轴于D，

∴∠AOB=∠CDB=90°，

∵点B是线段AC的中点，

∴AB=CB，

在△AOB和△CDB中，

∠AOB=∠CDB，∠AB0=∠CBD，AB=CB，

∴△AOB≌△CDB（AAS），

∵A（﹣2，0），

∴CD=AO=2，

将C的横坐标2代入y=x2+4x+4中得C的纵坐标为16．

所以C为（2，16），

设AC为y=kx+b，

则，

解得：，

所以y=4x+8．