Question

如图，已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），且经过点B（

5

2

，

3

4

），抛物线对称轴左侧与x轴交于点A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线解析式y₁和直线BC的解析式y₂；
（2）连接AB、AC，求△ABC的面积．
（3）根据图象直接写出y₁＜y₂时自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴y₁=a（x-2）²+1，
∵抛物线经过点（

5

2

，

3

4

），
∴a（

5

2

-2）²+1=

3

4

，
解得a=-1，
∴y₁=-（x-2）²+1=-x²+4x-3，
当x=0，y=-3，
∴C（0，-3），
设直线BC解析式为y₂=kx+b（k≠0），
则有

b=-3 5 2 k+b= 3 4

，
解得

k= 3 2 b=-3

．
所以，直线BC的解析式为y₂=

3

2

x-3；

（2）对于y₁=-x²+4x-3，当y=0时，-x²+4x-3=0，
即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点A的坐标为（1，0），
设直线BC与x轴相交于D，
对于y₂=

3

2

x-3，当y=0时，

3

2

x-3=0，
解得x=2，
∴点D的坐标为（2，0），
∴AD=2-1=1，
则S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
=

1

2

AD•|y_B|+

1

2

AD•|y_C|=

1

2

×1×

3

4

+

1

2

×1×3=

15

8

；

（3）由图得，当x＜0或x＞

5

2

时，y₁＜y₂．