Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax²+bx交于点C、D．已知点C的坐标为（1，7），点D的横坐标为5．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）将此抛物线沿对称轴向下平移几个单位，抛物线与直线AB只有一个交点？

Answer 1

（1）把点C的坐标（1，7）代入y=kx+5得，7=k+5，
解得k=2，
∴y=2x+5，
把x=5代入y=2x+5，得y=15，
∴D（5，15）．
把C（1，7）、D（5，15）代入y=ax²+bx，得a=-1，b=8，
∴y=-x²+8x；

（2）抛物线y=-x²+8x的顶点坐标为（4，16），对称轴是直线x=4，
设向下平移后的抛物线的顶点坐标为（4，k），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=-（x-4）²+k，
与直线y=2x+5联立消掉y得，-（x-4）²+k=2x+5，
整理得，x²-6x+21-k=0，
∵抛物线与直线AB只有一个交点，
∴△=b²-4ac=36-4（21-k）=0，
解得k=12，
16-12=4，
所以，此抛物线沿着对称轴向下平移4个单位．