题目内容

【题目】如图,抛物线yax22ax+c的图象经过点C0,﹣2),顶点D的坐标为(1,﹣),与x轴交于AB两点.

1)求抛物线的解析式.

2)连接ACE为直线AC上一点,当△AOC∽△AEB时,求点E的坐标和的值.

3)点C关于x轴的对称点为H,当FC+BF取最小值时,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QHF是直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1

2E(﹣,﹣);

3)(1)或(1)或Q12)或Q1,﹣).

【解析】

1)将点CD的坐标代入抛物线表达式,即可求解;

2)当△AOC∽△AEB时,求出yE=-,由△AOC∽△AEB得:即可求解;

3)如图2,连接BF,过点FFGACG,当折线段BFGBE重合时,CF+BF取得最小值,①当点Q为直角顶点时,由RtQHMRtFQM得:QM2=HMFM;②当点H为直角顶点时,点H02),则点Q12);③当点F为直角顶点时,同理可得:点Q1-).

1)由题可列方程组:,解得:

∴抛物线解析式为:yx2x2

2)由题意和勾股定理得,∠AOC90°ACAB4

设直线AC的解析式为:ykx+b,则

解得:

∴直线AC的解析式为:y=﹣2x2

AOC∽△AEB=(2=(2

SAOC1

SAEB

AB×|yE|AB4,则yE=﹣

则点E(﹣,﹣);

AOC∽△AEB得:

3)如图2,连接BF,过点FFGACG

FGCFsinFCGCF

CF+BFGF+BF≥BE

当折线段BFGBE重合时,取得最小值,

由(2)可知∠ABE=∠ACO

|y|OBtanABEOBtanACO

∴当y=﹣时,即点F0,﹣),CF+BF有最小值;

①当点Q为直角顶点时(如图3 F0,﹣),

C0,﹣2

H02)设Q1m),过点QQMy轴于点M

RtQHMRtFQMQM2HMFM

12=(2m)(m+),

解得:m,则点Q1)或(1

当点H为直角顶点时:点H02),则点Q12);当点F为直角顶点时:

同理可得:点Q1,﹣);

综上,点Q的坐标为:(1)或(1)或Q12)或Q1,﹣).

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