题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c的图象经过点C(0,﹣2),顶点D的坐标为(1,﹣),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)连接AC,E为直线AC上一点,当△AOC∽△AEB时,求点E的坐标和的值.
(3)点C关于x轴的对称点为H,当FC+BF取最小值时,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QHF是直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)E(﹣,﹣
);
;
(3)(1,)或(1,
)或Q(1,2)或Q(1,﹣
).
【解析】
(1)将点C、D的坐标代入抛物线表达式,即可求解;
(2)当△AOC∽△AEB时,求出yE=-
,由△AOC∽△AEB得:
即可求解;
(3)如图2,连接BF,过点F作FG⊥AC于G,当折线段BFG与BE重合时,CF+BF取得最小值,①当点Q为直角顶点时,由Rt△QHM∽Rt△FQM得:QM2=HMFM;②当点H为直角顶点时,点H(0,2),则点Q(1,2);③当点F为直角顶点时,同理可得:点Q(1,-
).
(1)由题可列方程组:,解得:
∴抛物线解析式为:y=x2﹣
x﹣2;
(2)由题意和勾股定理得,∠AOC=90°,AC=,AB=4,
设直线AC的解析式为:y=kx+b,则,
解得:,
∴直线
当△AOC∽△AEB时=(
)2=(
)2=
,
∵S△AOC=1,
∴S△AEB=,
∴AB×|yE|=
,AB=4,则yE=﹣
,
则点E(﹣,﹣
);
由△AOC∽△AEB得:
∴;
(3)如图2,连接BF,过点F作FG⊥AC于G,
则FG=CFsin∠FCG=CF,
∴CF+BF=GF+BF≥BE,
当折线段BFG与BE重合时,取得最小值,
由(2)可知∠ABE=∠ACO
|y|=OBtan∠ABE=OBtan∠ACO=3×=
,
∴当y=﹣时,即点F(0,﹣
),
CF+BF有最小值;
①当点Q为直角顶点时(如图3) F(0,﹣),
∵C(0,﹣2)
∴H(0,2)设Q(1,m),过点Q作QM⊥y轴于点M.
则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2=HMFM,
∴12=(2﹣m)(m+),
解得:m=,则点Q(1,
)或(1,
)
当点H为直角顶点时:点H(0,2),则点Q(1,2);当点F为直角顶点时:
同理可得:点Q(1,﹣);
综上,点Q的坐标为:(1,)或(1,
)或Q(1,2)或Q(1,﹣
).
