Question

【题目】如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．①点E在⊙M的内部；②CD的长为；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝ ，则PE＝⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．其中结论正确的是______________

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①ME=2=AM，∴E应该在⊙M上，即可求解；

②CD=2×=3，故CD的长为

③过点D作DH⊥ME，由DH=1，MD=R=2，故∠DME=30°，则∠DPE=15°，即可求解；

④ AK=AEsinα=2×=，同理EK=,则PK=,即可求解；

⑤点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则N运动的路径长=×2πr=π,

解：抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，

则点A、B、D的坐标分别为：（-1，0）、（3，0）、（0，-），则点M（1，0），
顶点E的坐标为：（1，-2），AB=4，CO=，OD=，故点D不在⊙M上；
①ME=2=AM，∴E应该在⊙M上，故不符合题；
②C是圆M与y轴交点，圆M半径为2，M（1，0）由勾股定理得OC=，
CD=2×=3，故CD的长为，符合题意；
③如图1，连接DP、ME，点D、E均在⊙M上，

过点D作DH⊥ME于H，
∵DH=1，MD=R=2，
故∠DME=30°，则∠DPE=15°，符合题意；
④如图2，连接PB、PA、AE，
∵点B、E均在圆上，则∠ABP=∠AEP=α，
sin∠AEP=sin∠ABP==sinα，则cosα=，

过点A作AK垂直于PE于K，则AK=AEsinα=2×=，EK=AEcosα═，则PK=AK=，故则PE=，符合题意；
⑤如图3，图中实点G、N、M、F是点N运动中所处的位置，

则GF是等腰直角三角形的中位线，GF=AB=2，ME交AB于点R，则四边形GEFM为正方形，当点P在半圆任意位置时，中点为N，连接MN，则MN⊥PE，连接NR，
则NR=ME=MR=RE=RG=RF=GF=1，则点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则N运动的路径长=×2πr=π，故不符合题意；
故答案为：②③④．