Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：AB=AC；

（2）求证：DE是⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）连接AD，由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得结论；

（2）连接OD，由中位线的性质可得OD∥AC，由平行的性质与切线的判定可证；

（3）易知是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及度数，利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.

（1）连接AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

又∵DC=BD，

AD是BC的垂直平分线

∴AB=AC．

（2）连接OD．

∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°．

∵O为AB中点，D为BC中点，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠CED=90°．

∴DE是⊙O的切线．

（3）由（1）得

是等边三角形

在中，

根据勾股定理得