Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以2cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是a秒（0＜a≤20）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的a值；如果不能，请说明理由；

（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）能，当t=秒时，四边形AEFD为菱形；（2）当t=16或10秒时，△DEF为直角三角形，理由见解析

【解析】

（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即40-4t=2t，解方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论即可．

（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，
即40-2t=t，解得t= ．
∴当t=秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AD=AE=，
又AD=40-2t，即40-2t=，解得t=16；
②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A=60°，则∠ADE=30°，
∴AD=2AE，即40-2t=2t，解得t=10．
③若∠EFD=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t=16或10秒时，△DEF为直角三角形．