Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线M折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

由△DCM为直角三角形，分两种情况进行讨论：①∠CDM＝90°；②∠CMD＝90°．分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．

解：分两种情况：

①如图，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝3，

，

由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，

∴∠BDN＝30°，

，

，

∴AN＝2BN＝1，

∵∠DNB＝60°，

∴∠ANM＝∠DNM＝60°，

∴∠AMN＝60°，

∴MN＝AN＝1；

②如图，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，

由题可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，

∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，

，

又，

，

过N作NH⊥AM于H，则∠ANH＝30°，

，

由折叠可得，∠AMN＝∠DMN＝45°，

∴△MNH是等腰直角三角形，

，

．

故答案为1或．