Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣3a）（x+a）交x轴分别于点A、B（点B在x轴负半轴，OA＞OB），交y轴于点C，OC＝4OB，连接AC，点P从点A出发向点O运动，点Q从点A出发向点C运动．

（1）求a的值；

（2）点P、Q都以每秒1个单位的速度运动，运动t秒时，点A关于直线PQ对称的点E恰好在抛物线上，求t的值；

（3）点P以每秒1个单位的速度运动，点Q以每秒个单位的速度运动，直线PQ交抛物线于点M，当△CMA的内心在直线PQ上时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a＝1；（2）；（3）点M的坐标为（，5）

【解析】

（1）由题意，可求得A（3a，0），B（﹣a，0），C（0，4a2），因为OC＝4OB，得4a2＝4a，即可得出a的值；

（2）作EH⊥AB于H，证明四边形PAQE为菱形，可得tan∠EPH＝tan∠CAO＝，设EH＝4m，PH＝3m，则PA＝PE＝5m，所以点E的坐标为（3﹣8m，4m），代入抛物线y＝﹣（x﹣3）（x+1），求得m的值，即可得出t的值；

（3）连接MA，MC，作CH⊥MP于H，设运动时间为t秒，则AP＝t，AQ＝，可得PM∥CO，当△CMA的内心在直线PQ上时，证明△CHM∽△APM，得，即，解方程求得x的值，即可得出点M的坐标．

解：（1）∵抛物线y＝﹣（x﹣3a）（x+a）交x轴分别于点A、B（点B在x轴负半轴，OA＞OB），

当y＝0时，x＝3a或x＝﹣a，

当x＝0时，y＝4a2

∴A（3a，0），B（﹣a，0），C（0，4a2），

∵OC＝4OB，

∴4a2＝4a，

∴a＝1或a＝0（舍去），

∴a＝1．

（2）如图1，作EH⊥AB于H，

∴点A关于直线PQ对称的点E恰好在抛物线上，

∴PA＝PE，QA＝QE，

∵AP＝AQ＝t，

∴PA＝PE＝QE＝QA，

∴四边形PAQE为菱形，

∴EP∥AC，

∴∠EPH＝∠CAO，

∵A（3，0），C（0，4），

∴tan∠EPH＝tan∠CAO＝，

设EH＝4m，PH＝3m，则PA＝PE＝5m，

∴点E的坐标为（3﹣8m，4m），

代入抛物线y＝﹣（x﹣3）（x+1），得4m＝×（﹣8m）×（4﹣8m），

∵m＞0，解得m＝，

∴t＝5a＝ ；

（3）如图2，连接MA，MC，作CH⊥MP于H，

设运动时间为t秒，则AP＝t，AQ＝，

∴，

∴PM∥CO，

当△CMA的内心在直线PQ上时，有∠CMH＝∠AMP，

∵∠CHM＝∠APM＝90°，

∴△CHM∽△APM，

∴，

∴，

化简，得，解得x＝，

∴y＝

∴点M的坐标为（，5）．