题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（a，0）（a＞0），点C是y轴上的一个动点，点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边△AOB（此时点P与点B重合）．
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；
（2）若点P在第三象限，BP交x轴于点E，且∠ACO＝20°，求∠PAE的度数和E点的坐标；
（3）若∠APB＝30°，则点P的横坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）∠PAE＝∠OAC﹣∠CAP＝10°，E（﹣a，0）；（3）﹣a或2a．
【解析】
(1) 先判断出∠OAC=∠BAP, 进而得出结论;
(2) 利用直角三角形的性质得出∠OAC, 进而得出∠PAE, 再利用全等三角形的性质得出∠APB,利用三角形的外角得出∠AEB=30
, 即可得出结论;
(3) 分点C在y轴负半轴和正半轴上,判断出点P在x轴上, 即可得出结论.
（1）证明：∵△AOB和△ACP都是等边三角形，
∴OA＝AB，AP＝AC，∠OAB＝∠CAP＝60°
∴∠OAC＝∠BAP，
在△AOC和△ABP中，
，
∴△AOC≌△ABP（SAS），
（2）解：∵∠ACO＝20°，
∴∠OAC＝90°﹣20°＝70°，
∵∠CAP＝60°，
∴∠PAE＝∠OAC﹣∠CAP＝10°；
由（1）知，△AOC≌△ABP，
∴∠ABP＝∠AOC＝90°，∠ACO＝∠APB＝20°，
∴∠AEB＝∠APB+∠PAE＝20°+10°＝30°，
∵A（a，0），
∴OA＝a，
∴AB＝OA＝a，
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝2a，
∴OE＝AE﹣OA＝a，
∴E（﹣a，0）；
（3）
当点C在y轴负半轴上时，当∠APB＝30°时，
由（1）知，△AOC≌△ABP，
∴∠ABP＝∠AOC＝90°，
∵∠OAB＝60°，
∴∠AEB＝30°＝∠APB，
∴点P和点E重合，
即：点P在x轴上，
在Rt△ABE中，AB＝a，
∴AP＝2AB＝2a，
∴OP＝AP﹣OA＝a，
∴P（﹣a，0）；
当点C在y轴正半轴时，
如图（注：为了说明点P也在x轴上，作的图形，不标准）
∵∠AOB＝60°，
∴∠APB＝
∠AOB，
∴点P在以点O为圆心，OA为半径的圆上，
∴OP＝OA，
在△AOC和△POC中，
，
∴△AOC≌△POC，
∴∠ACO＝∠PCO，
∵∠ACP＝60°，
∴∠ACO＝∠PCO，
∴OC⊥AP，
∵OC⊥OA，∴点P在x轴上，
∴点P的横坐标为﹣a，
当点C在y轴半轴上时，∠APB＝30°，如图1，（注：为了说明点B和F重合，作的图形，不标准）
由（1）知，△AOC≌△ABP（SAS），
∴∠ABP＝∠OAC＝90°，
∵在等边三角形ACP中，∠CAP＝60°，
∵∠APB＝30°，
∴∠AFP＝90°，
∴点B和F重合，
∴AB＝
AC＝AP，
∵OA＝AB，
∴OA＝AP，
过点P作PH⊥OA于H，
∴∠PAH＝60°，
∴AH＝AP，
∴AH＝OA，
∴AH＝2OA，
∵A（a，0），
∴OA＝a，
∴AH＝2a，
∴点P的横坐标为2a，
故答案为：﹣a或2a．
